Altura de un Triángulo
Definición
La altura de un triángulo es el segmento de recta que se traza perpendicularmente (90°) desde un vértice hacía el lado opuesto de éste.
Vea la altura en el triángulo ABC:
En el Δ ABC:
BH: Altura trazada al lado AC
El punto «H», es donde cae la altura y se le llama «pie de altura».
Sabemos que un triángulo tiene tres vértices, entonces las alturas que pueden trazarse en todo triángulo es tres (3).
Veamos la siguiente figura:
En la figura:
Alturas: BH, AQ y CP
- BH: Altura relativa al lado AC
- AQ: Altura relativa al lado BC
- CP: Altura relativa al lado AB
Aquí las tres alturas concurren en un punto en común «O». Este punto se le llama «ORTOCENTRO» y es un punto notable del triángulo, dependiendo de la clase de triángulo que tengamos, el ortocentro puede estar en la región interior o exterior del triángulo.
Las alturas en este gráfico se trazaron en un triángulo acutángulo, vea a continuación como se trazan las alturas en otros tipos de triángulos.
Te puede interesar:
- Ángulo Recto.
- Triángulo Rectángulo
Altura del Triángulo Rectángulo
En un triángulo rectángulo, dos de sus alturas se presentan en los catetos. Observe el siguiente gráfico:
En la figura, la altura trazada desde el vértice A es el lado AB (un cateto), la altura trazada desde C es el lado CB (otro cateto) y también se aprecia la altura BH relativa a la hipotenusa.
Fíjese también que las tres alturas concurren en el vértice «B», este punto es el Ortocentro.
Altura del Triángulo Obtusángulo
El triángulo obtusángulo tiene un ángulo obtuso, motivo por el cual si trazamos la altura BH, «H» estará en la prolongación del lado AC. Observe la siguiente figura:
Ahora, si trazamos la altura a partir del vértice «A», ésta caerá en la prolongación de BC. Sólo la altura que se traza desde «C» estará en el mismo lado opuesto. Veamos esto en el siguiente triángulo obtusángulo ABC:
De la figura:
BH, AQ y CP son las alturas del triángulo ABC
También:
- BH: Altura relativa al lado AC
- AQ: Altura relativa al lado BC
- CP: Altura relativa al lado AB
Las tres alturas de este triángulo o sus prolongaciones concurren en el punto «O», que sería el «ORTOCENTRO». Punto Notable externo al triángulo obtusángulo.
Propiedad de la Altura
La altura trazada hacía la base de un triángulo Isósceles o triángulo equilátero, tiene una característica principal.
Vea el siguiente gráfico:
Se traza BH en los dos tipos de triángulos, entonces se cumple:
BH es: Altura, Bisectriz, Mediatriz y Mediana.
Es muy importante conocer esta propiedad ya que suele aplicarse en los ejercicios.
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 01:
En un triángulo ABC se trazan las alturas BH y CN tal que se interceptan en E. Si la medida del ángulo BAC es 50°, calcule el ángulo BEC.
Resolución:
Bosquejando el gráfico, según los datos tenemos:
Al trazarse las alturas, se forman triángulos rectángulos que debemos aprovechar en el ejercicio.
En el triángulo rectángulo BHA: completamos ángulos.
⇒ m∠ABH = 40°
Luego en el triángulo sombreado:
x = 90° + m∠ABH
⇒ x = 90° + 40°
∴ x = 130°
Ejercicio 02:
En la figura mostrada calcular el valor de «x» sabiendo que «O» es el ortocentro del triángulo ABC y AE = EO.
Resolución:
Si «O» es el ortocentro, entonces la altura trazada desde el vértice «A» deberá pasar por el punto O necesariamente. Trazamos la altura AT, tenemos:
Al ser AE = EO se forman el triángulo isósceles AEO.
En el triángulo rectángulo ATB, completando ángulos:
⇒ Φ = 30°
En «O»: ángulo opuesto por el vértice, se traslada el ángulo Φ.
Finalmente en el triángulo OTD:
x = 90° + Φ
⇒ x = 90° + 30°
∴ x = 120°
