Área de un Triángulo
Calcular el área de un triángulo aveces puede resultar una tarea nada sencilla; además de ser una de las aplicaciones que más se pide sacar sobre un triángulo.
Para el cálculo del área del triángulo se tiene que conocer las fórmulas básicas y auxiliares; así como, tener conocimiento de teoría de triángulos.
En este tema daremos a conocer las principales fórmulas para hallar el área de un triángulo de forma práctica y según los datos que se tenga. Finalmente, para reforzar esta teoría, nos encontramos con una serie de ejercicios resueltos paso a paso, con ciertos grados de dificultad que serán de gran ayuda para el lector.
Fórmula del Área del Triángulo
Esta fórmula indica:
El área de un triángulo es igual al semiproducto de la longitud de la base y la altura relativa hacía ese lado.
Gráficamente tenemos:
Vemos que la fórmula para sacar el área de un triángulo es igual a la base por la altura sobre 2. Esto se cumple para toda clase de triángulo.
Área del Triángulo Equilátero
El triángulo equilátero tiene sus tres lados iguales, además de que los ángulos internos son igual a 60°, por ellos se hace más fácil poder calcular el área de su región.
El área de un triángulo equilátero se puede calcular rápidamente con sólo conocer su lado, pues como sabemos:
La base es el lado del triángulo equilátero y su altura se puede conocer en función del lado aplicando el teorema de Pitágoras o razones trigonométricas.
Sea «S»: Área del triángulo.
Entonces la fórmula para sacar el área de un triángulo equilátero es:
Donde «a» es la longitud del lado del triángulo equilátero.
Fórmula de Herón
Otra forma de calcular el área de un triángulo es aplicando el Teorema o Fórmula de Herón, el cual suele utilizarse siempre y cuando se conozca las longitud de los tres lados de un triángulo.
Veamos en que se basa la Fórmula de Herón:
» El área de la región triangular es igual a la raíz cuadrada de los productos, de la longitud del semi-perímetro, con las sustracciones de este con las longitudes de cada uno de sus lados».
De forma gráfica:
En esta figura se ha considerado un triángulo escaleno de lados a, b y c.
Fórmula Trigonométrica
Cuando en un triángulo se conocen dos lados y el ángulo interno que forman a estos lados, entonces rápidamente podemos calcular el área del triángulo por trigonometría.
La Fórmula trigonométrica dice:
«El área de la región triangular es igual al semi-producto de las longitudes de dos de sus lados multiplicado por el seno de la medida del ángulo que estos determinan».
Veamos de forma gráfica:
Ejercicios Resueltos
Presentamos una serie de ejercicios de área de triángulos. Aprenda como se resuelven estos tipos de problemas.
Ejercicio 01:
Si el área de la región triangular ABC es 12√2cm². Calcule el valor de «x».
Resolución:
En este ejercicio podemos emplear la fórmula trigonométrica, de acuerdo a como se presentan los datos.
⇒ Área = 12√2cm² = (x)(6).sen45°/2
Simplificando:
∴ x = 8cm
Ejercicio 02:
En la figura mostrada se pide calcular el área de la región triangular, sabiendo que: BP = 3u y AC = 10u.
Resolución:
Observando el gráfico y según la teoría que hemos estudiando, damos cuenta que no podemos aplicar ninguna fórmula directa para calcular el área del triángulo.
Sin embargo; podemos calcularlo por una diferencia de áreas. Vea como se realiza:
Sea: PH = h
También:
- St: Área de la región triangular ABC.
- S1: Área de la región triangular ABD = ??
- S2: Área de la región triangular ADC
Calculando S1:
S1 = St – S2
Aplicando la fórmula general:
S1 = (10)(3 + h)/2 – (10)(h)/2
⇒ S1 = (10)(3)/2 = 15 u²
∴ Área de la región sombreada = 15 u²
Ejercicio 03:
En un triángulo ABC, la mediatriz de AC, intercepta a la ceviana BN en su punto medio. Si la m∠BAC = 60° y AB = 20cm. Halle el área de la región triangular BNC.
Resolución:
Bosquejando el gráfico según el problema.
Se PM el segmento mediatriz del lado AC.
Se traza la altura BH para aprovechar el dato AB = 20 y el ∠A = 60°, con ello se forma el triángulo notable de 30° y 60°.
⇒ BH = 10√3cm ; AH = 10cm
En el el triángulo BHN: PM es base o línea media, entonces:
HM = MN = a
Luego, al ser «M» punto medio de AC:
⇒ NC = 10cm
Finalmente sacando el área del triángulo BNC (S) por la fórmula general, tenemos:
S = (10)(10√3)/2 = 50√3cm²
∴ S = 50√3cm²
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