Área de un Triángulo Equilátero: Fórmulas y Problemas

Conocemos que:

El triángulo equilátero tiene los tres lados iguales.

Esta definición nos ayudará a sacar las fórmulas del área de un triángulo equilátero.

Área del Triangulo Equilátero

Para deducir el área de un triángulo equilátero, nos basaremos en la fórmula para sacar el área de cualquier triángulo que nos dice:

El área de un triángulo es el semiproducto de la base por la altura.

Es decir;

Área de un triángulo = [Base]x[Altura]/2

Ahora, veamos la siguiente figura del triángulo equilátero:

Vemos que:

• Altura: BH = h
• Lado del triángulo: AB = BC = AC = a

Apliquemos la fórmula para hallar el área de un triángulo:

Área = [Base]x[Altura]/2

Área = a.h/2  …..(1)

Hallando «h» en el triángulo rectángulo ABH, aplicamos teorema de Pitágoras:

a² = h² + (a/2)²

⇒ h = a√3/2 ……(2)

Reemplazando (2) en (1):

Área = a.(a√3/2)/2

Despejando tenemos la fórmula para hallar el área de un triángulo equilátero en función del lado:

Área del triángulo equilátero = a²√3/4

Como el lado y la altura están relacionados, también podemos calcular el área de un triángulo en función de su altura y la fórmula es:

Área del triángulo equilátero = h²√3/3

Utilizar cualquiera de las dos fórmulas es valida, dependiendo que tengamos como dato o nos pidan.

Veamos ahora algunos problemas para aplicar las fórmulas.

Problemas Resueltos

Problema 01

Hallar la altura de un triángulo equilátero si su área mide 2√3cm²

Resolución:

Hemos aprendido una fórmula del área de un triángulo equilátero en función de su altura. Apliquémoslo en este ejercicio:

Área del triángulo equilátero = h²√3/3

Reemplazando:

2√3cm² = h²√3/3

⇒ h² = 6cm²

∴ h = √6cm

Problema 02

Calcular el área de un triángulo equilátero, cuyo inradio mide 2cm.

Resolución:

Veamos el gráfico del problema para entender de que se trata:

En la figura:

• Inradio: 2cm
• Lado del triángulo equilátero: 2a

Se traza OT ⊥ AC, pues «T» es punto de tangencia, formando el triángulo rectángulo AOT.

◣AOT es Notable de 30° y 60°

⇒ AT = a = 2√3cm

Hallando el área del triangulo equilátero (S) en función del lado:

S = (2a)²√3/4

⇒ S = 4(2√3)²√3/4 = 12√3

∴ S = 12√3cm²

Problema 03

En la figura mostrada hallar el área del triángulo equilátero PTD inscrita en un cuadrado ABCD de lado √6 + √2.

Resolución:

Para sacar el área del triángulo equilátero se nos hace falta saber el lado del mismo. Veamos la siguiente figura:

Lado del Δ equilátero PTD = a

Hallando «a» en el triángulo rectángulo PAD: Notable de 15° y 75°, entonces:

Calculando el área «S»:

S = 4²√3/4

∴ S = 4√3u²