Binomio al Cubo
El binomio al cubo es una identidad notable que dependiendo el caso podemos tener un binomio de suma o binomio de resta. Si «a» y «b» son términos del binomio entonces podemos tener:
(a + b)3
(a – b)3
Cada uno de estos binomios tiene su desarrollo que a continuación veremos en cada caso del binomio al cubo:
1. Binomio de suma al cubo
La suma de un binomio al cubo es igual al cubo del primero, más (+) el triple del cuadrado del primero por el segundo, más (+) el triple del primero por el cuadrado del segundo, más (+) el cubo del segundo.
Esta definición de binomio suma al cubo podemos escribirlo algebraicamente de la siguiente forma:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
A continuación, veremos ejemplos de binomio suma al cubo para su aplicación:
Ejemplo 01:
Efectuar:
(m + 1)3
Aplicando la fórmula aprendida:
(m + 1)3 = m³ + 3m².1 + 3.m.1² + 1³
Desarrollando:
(m + 1)3 = m³ + 3m² + 3m + 1
Ejemplo 02:
Efectuar:
(a + 2b)3
Resolviendo:
(a + 2b)3 = a³ + 3a².2b + 3.a.(2b)² + (2b)³
Finalmente:
(a + 2b)3 = a³ + 6a²b + 12ab² + 8b³
Ejemplo 03:
Efectuar:
(2x + 5y)3
Resolviendo:
(2x + 5y)3 = (2x)³ + 3(2x)².5y + 3.2x.(5y)² + (5y)³
Por lo tanto:
(2x + 5y)3 = 8x³ + 60x²y + 150xy² + 125y³
2. Binomio de resta al cubo
La resta de un binomio al cubo es igual al cubo del primero, menos (–) el triple del cuadrado del primero por el segundo, más (+) el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos (–) el cubo del segundo.
Esta definición de binomio resta al cubo podemos escribirlo algebraicamente de la siguiente forma:
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
A continuación, veremos ejemplos de binomio resta al cubo para su aplicación:
Ejemplo 04:
Efectuar:
(n – 2)3
Resolviendo:
(n – 2)3 = (n)³ – 3(n)².2 + 3.n.(2)² – (2)³
Por lo tanto:
(n – 2)3 = n³ – 6n² + 12n – 8
Ejemplo 05:
Efectuar:
(3 – b)3
Resolviendo:
(3 – b)3 = (3)³ – 3(3)².b + 3.3.(b)² – (b)³
Finalmente:
(3 – b)3 = 27 – 27b + 9b² – b³
Ejemplo 06:
Efectuar:
(3x – 2y)3
Resolviendo:
(3x – 2y)3 = (3x)³ – 3(3x)².2y + 3.3x.(2y)² – (2y)³
Por lo tanto:
(3x – 2y)3 = 27x³ – 54x²y + 18xy² – 8y³