Binomio al Cubo
El Binomio al Cubo o “Cubo de un Binomio” es una identidad de los Productos Notables, el cual es muy importante aprender sus fórmulas y aplicarlos correctamente en los ejercicios.
Dominar este tema le valdrá para tener éxtio en temas como por ejemplo: Factorización y Ecuaciones.
Antes de empezar, debemos recordar que un binomio es la suma o diferencia de dos términos o monomios. Observe algunos ejemplos de Binomio:
- a + b
- x – y
- m + n
- x + 1
- a – b
Entonces cuando hablamos de Binomio al Cubo nos referimos a expresiones como::
- (a + b)³
- (x – y)³
- (m + n)³
- (ax – by)³
¿Cómo se Resuelve un Binomio al Cubo?
Para resolver un binomio al cubo o saber cuál será su fórmula, plantearemos lo siguiente:
Sea: (a + b)³ el cubo de un binomio a resolver.
Esta expresión también puede plantearse así:
(a + b)³ = (a + b)(a + b)²
Recuerde que: (a + b)² es un binomio al cuadrado y su desarrollo es: a² + 2ab + b²
Reemplazando:
(a + b)³ = (a + b)(a² + 2ab + b²)
Aplicando la ley distributiva en el producto de factores:
(a + b)³ = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
Ordenando tenemos la resolución del binomio al cubo:
∴ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Así también, hubiéramos podido desarrollar: (a – b)³.
En general el Binomio al cubo tiene la siguiente Fórmula:
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
Esta es la fórmula de la suma o resta de binomio al cubo. A continuación, veremos cada uno de ellos al detalle.
Suma de Binomio al Cubo
La suma de binomio al cubo es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
La fórmula o propiedad está representado de la siguiente forma:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Ejemplo 01:
Resolver: (x + 1)3
Resolución:
(x + 1)3 = x3 + 3x2.1 + 3.x .12 + 13
Efectuamos y resolvemos:
∴ (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1
Ejemplo 02:
Resolver: (2m+ n)3
Resolución:
(2m + n)3 = (2m)3 + 3(2m)2.n + 3.(2m)n2 + n3
Efectuamos y resolvemos:
∴ (2m + n)3 = 8m3 + 12m2.n + 6n2.m + n3
Ejemplo 03:
Resolver: (p + a)3
Resolución:
(p + a)3 = (p)3 + 3(p)2.a + 3.(p)a2 + a3
Efectuamos y resolvemos:
(p + a)3 = p3 + 3p2.a + 3p.a2 + a3
También se puede escribir:
∴ (p + a)3 = p3 + 3ap(a+p) + a3
Resta de Binomio al Cubo
La diferencia de un binomio al cubo es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.
La fórmula o propiedad está representado de la siguiente forma:
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Ejemplo 04:
Resolver: (y – 2)3
Resolución:
(y – 2)3 = (y)3 – 3(y)2.2 + 3.y.22 – 23
Resolvemos, tenemos:
∴ (y – 2)3 = y3 – 6y2 + 12y – 8
Ejemplo 05:
Resolver: (m – n)3
Resolución:
(m – n)3 = (m)3 – 3(m)2.n + 3.m.n2 – n3
Resolvemos, tenemos:
(m – n)3 = m3 – 3m2n + 3mn2 – n3
También se puede factorizar así:
∴ (m – n)3 = m3 – 3mn(m – n) – n3
Ejemplo 06:
Resolver: (a – 2b)3
Resolución:
(a – 2b)3 = a3 – 3a2(2b) + 3.a(2b)2 + (2b)3
Efectuamos y resolvemos:
∴ (a – 2b)3 = a3 – 6a2b + 6ab2 + 8b3
¡Importante!
De los ejemplos vistos podemos decir que el binomio al cubo también puede expresarse de la siguiente forma reducida:
