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Circunferencia: Definición, Elementos y Propiedades

La circunferencia es una figura geométrica muy importante, conozca todo sobre él.

Mente Plus Por Mente Plus
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¿Qué es una Circunferencia?

En geometría plana, una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos que cumplen con la propiedad de equidistar de otro punto fijo denominado centro.

Véase la circunferencia:

la circunferencia

En la Figura:

VeaTambién:

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Área de un Triángulo: Fórmulas y Ejercicios Resueltos

Altura de un Triángulo: Definición y Ejercicios Resueltos

  • Al punto fijo (punto rojo), se le conoce como centro de la circunferencia.
  • El radio es la distancia del «centro» a cualquier punto de la circunferencia (línea azul). El radio de una circunferencia siempre será una distancia constante.
Círculo: Conjunto de puntos que une a la circunferencia con su region interior.

Elementos de la Circunferencia

En la siguiente figura, apreciamos los elementos que están asociados a la circunferencia.

elementos de la figura

Esta figura contiene todos los 10 elementos de la circunferencia que debemos conocer.

A continuación, definiremos los elementos o partes de la circunferencia. Tenga presente la importancia de esta sección para la resolución de problemas de esta importante figura geométrica.

De la figura 1:

  1. Centro: «O», es el centro de la circunferencia.
  2. Radio: «R», está definido como la distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia.
  3. Cuerda: es el segmento que intercepta a la circunferencia en dos puntos, una cuerda será «MN». Si la cuerda contiene al centro de la circunferencia, dicha cuerda se le llamará diámetro.
  4. Diámetro: «AB», es la cuerda máxima en la circunferencia y necesariamente debe pasar por el centro. El diámetro divide a la circunferencia en dos partes congruentes, llamado semicircunferencia.
  5. Arco: Arco PSEl arco se considera como una porción de la circunferencia.
  6. Apotema: «OC», es el segmento perpendicular del centro hacía una cuerda.
  7. Flecha o Sagita: «CD», es el segmento prolongado del apotema que intercepta a la circunferencia.
  8. Recta Tangente: «Rt», es la recta que intercepta a la circunferencia en un punto, llamado punto de tangencia.
  9. Punto de Tangencia: «T» , es el punto producto de la intercepción de la recta tangente con la circunferencia.
  10. Recta Secante: «Rs», es aquella recta que corta a la circunferencia en dos puntos. Aquellos puntos son: «P» y «S».

También:

Longitud = 2π r

Importante:

En toda circunferencia se cumple lo siguiente: «Si el radio es perpendicular a una cuerda, dicha cuerda queda dividida en dos segmentos congruentes; así como los arcos que las contienen».

MC = CN   ∧    Arco MD = Arco DN 

Propiedades de la Circunferencia

Veamos 7 propiedades muy importantes en la circunferencia.

1. Medida de la Circunferencia

medida de la circunferencia

La medida angular de una circunferencia es 360°. Propiedad básica pero muy importante.

2. Ángulo en punto de tangencia

Ángulo en el punto de tangencia

Toda tangente es perpendicular (ángulo recto) al radio trazado hacia el punto de tangencia.

3. Diámetro perpendicular a la cuerda

Diametro perpendicular a la cuerda

En toda circunferencia, un diámetro o radio es perpendicular a una cuerda (AB⊥MN). Si y solo si pasa por el punto medio de dicha cuerda.

4. Cuerdas y Arcos Congruentes

cuerdas y arcos

En toda circunferencia, a cuerdas congruentes (AB ≌ CD) se le oponen arcos congruentes, también se cumple lo inveso.

5. Cuerdas Paralelas en una Circunferencia

cuerdas paralelas

En toda circunferencia cuerdas paralelas determinan que los arcos comprendidos entre dichas paralelas sean congruentes.
En la figura:

BC // AD

6. Perpendiculares a cuerdas congruentes

Propiedad de la circunferencia

Si desde el centro de una circunferencia se trazan perpendiculares a dos cuerdas congruentes; entonces se cumple que dichas perpendiculares son congruentes.

Si: AB = CD

⇒ OM = ON

7. Segmentos tangentes en la Circunferencia

Puntos de tangencia

Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan segmentos de tangentes, entonces se cumple que dichos segmentos son congruentes.

En la figura «A» y «C» son puntos de tangencia.

Ejemplos

Ejemplo 1

En la figura A, B, C son puntos de tangencia. Calcular el valor de MN.

Ejercicio 1

En este ejercicio aplicaremos la propiedad 7, en la cual se cumple:

MA = MC = 3cm

NB = NC = 5cm

Nos piden MN:

MN = MC + NC

Reemplazando:

MN = 3cm + 5cm

∴ MN = 8cm

Ejemplo 2:

Calcular el valor de X, si «P» es punto de tangencia; además:

AB es diámetro y BQ = r

Ejemplo de circunferencia

Como «P» es punto de tangencia, trazamos OP,  observe:

Solución del ejemplo de circunferencia

Entonces aplicamos la propiedad 2 y se cumple:

OP ⊥ PQ

También notamos:

OP = OB = BQ = r

Sacamos el triángulo rectángulo OPQ:

Resolución del ejemplo

Es notable de 30° y 60°, entonces:

∴ x = 30°


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