¿Qué es la Circunferencia?
En geometría plana, una circunferencia es una línea curva cerrada donde todos los puntos están a igual distancia de un punto fijo llamado centro. A esta distancia se le conoce como radio.
Véase la circunferencia:
En la Figura:
- Al punto fijo (punto rojo), se le conoce como centro de la circunferencia.
- El radio es la distancia del «centro» a cualquier punto de la circunferencia (línea azul). El radio de una circunferencia siempre será una distancia constante.
Elementos
En la siguiente figura, apreciamos los elementos que están asociados a la circunferencia.
Esta figura contiene los 10 elementos de la circunferencia que debemos conocer.
A continuación, definiremos los elementos o partes de la circunferencia. Tenga presente la importancia de esta sección para la resolución de problemas de esta importante figura geométrica.
De la figura 1:
- Centro: «O», es el centro de la circunferencia.
- Radio: «R», está definido como la distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia.
- Cuerda: es el segmento que intercepta a la circunferencia en dos puntos, una cuerda será «MN». Si la cuerda contiene al centro de la circunferencia, dicha cuerda se le llamará diámetro.
- Diámetro: «AB», es la cuerda máxima en la circunferencia y necesariamente debe pasar por el centro. El diámetro divide a la circunferencia en dos partes congruentes, llamado semicircunferencia.
- Arco: El arco se considera como una porción o parte de la circunferencia, en la figura el arco seria por ejemplo PS y esta representado de la siguiente forma:
- Apotema: «OC», es el segmento perpendicular del centro hacía una cuerda.
- Flecha o Sagita: «CD», es el segmento prolongado del apotema que intercepta a la circunferencia.
- Recta Tangente: «Rt», es la recta que intercepta a la circunferencia en un punto, llamado punto de tangencia.
- Punto de Tangencia: «T» , es el punto producto de la intercepción de la recta tangente con la circunferencia.
- Recta Secante: «Rs», es aquella recta que corta a la circunferencia en dos puntos. Aquellos puntos son: «P» y «S».
También:
Longitud = 2π r
Importante:
En toda circunferencia se cumple lo siguiente: «Si el radio es perpendicular a una cuerda, dicha cuerda queda dividida en dos segmentos congruentes; así como los arcos que las contienen».
MC = CN ∧ Arco MD = Arco DN
En el siguiente video verás la definición y los elementos asociados a la circunferencia.
Propiedades de la Circunferencia
Veamos 7 propiedades muy importantes en la circunferencia.
1. Medida de la Circunferencia
La medida angular de una circunferencia es 360°. Propiedad básica pero muy importante.
2. Ángulo en punto de tangencia
Toda tangente es perpendicular (ángulo recto) al radio trazado hacia el punto de tangencia.
3. Diámetro perpendicular a la cuerda
En toda circunferencia, un diámetro o radio es perpendicular a una cuerda (AB⊥MN). Si y solo si pasa por el punto medio de dicha cuerda.
4. Cuerdas y Arcos Congruentes
En toda circunferencia, a cuerdas congruentes (AB ≌ CD) se le oponen arcos congruentes, también se cumple lo inveso.
5. Cuerdas Paralelas en una Circunferencia
En toda circunferencia cuerdas paralelas determinan que los arcos comprendidos entre dichas paralelas sean congruentes.
En la figura:
BC // AD
6. Perpendiculares a cuerdas congruentes
Si desde el centro de una circunferencia se trazan perpendiculares a dos cuerdas congruentes; entonces se cumple que dichas perpendiculares son congruentes.
Si: AB = CD
⇒ OM = ON
7. Segmentos tangentes en la Circunferencia
Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan segmentos de tangentes, entonces se cumple que dichos segmentos son congruentes.
En la figura «A» y «C» son puntos de tangencia.
Ejemplos
Ejemplo 1
En la figura A, B, C son puntos de tangencia. Calcular el valor de MN.
En este ejercicio aplicaremos la propiedad 7, en la cual se cumple:
MA = MC = 3cm
NB = NC = 5cm
Nos piden MN:
MN = MC + NC
Reemplazando:
MN = 3cm + 5cm
∴ MN = 8cm
Ejemplo 2:
Calcular el valor de X, si «P» es punto de tangencia; además:
AB es diámetro y BQ = r
Como «P» es punto de tangencia, trazamos OP, observe:
Entonces aplicamos la propiedad 2 y se cumple:
OP ⊥ PQ
También notamos:
OP = OB = BQ = r
Sacamos el triángulo rectángulo OPQ:
Es notable de 30° y 60°, entonces:
