Triángulo Equilátero: Definición, Carácterísticas, Perímetro, Área y Ejercicios

Triángulo Equilátero

Es aquel tipo de triángulo que tiene los tres lados de igual longitud.

Un triángulo equilátero es un polígono regular de tres lados y equiangular a la vez (ángulos iguales); es decir, la medida de cada ángulo es 60°.

Vea la figura del triángulo equilátero.

Este tipo de triángulo es muy conocido y se estudia mucho por las características, propiedades y las aplicaciones que tiene en la vida cotidiana.

Características

A continuación, las mejores características del triángulo equiátero, ¡tome nota!:

1. Los tres lados son iguales.
2. Los ángulos internos son iguales a 60°.
3. Las Líneas Notables:  Mediatriz, Bisectriz, Altura y Mediana son congruentes.
4. Los Puntos Notables: Circuncentro, Incentro, Ortocentro y Baricentro coinciden en el mismo punto.
5. La Recta de Euler del Triángulo Equilátero es un punto.
6. El Centro del Triángulo Equilátero (centro de gravedad) es el centro de la Circunferencia Inscrita y Circunscrita a él.
7. El triángulo equilátero tiene tres ejes de simetría.

Propiedades

Existen diversas propiedades del triángulo equilátero. Trataremos a continuación los teoremas más importantes y que nos ayudarán en la resolución de problemas.

• Propiedad N° 01:

En un triángulo equilátero las líneas notables: Mediana, Bisectriz, Altura y Mediatriz son iguales en longitud. Véase la Figura: 01.

• Propiedad N° 02:

Al trazarse cualquier línea notable: bisectriz, altura, mediana y mediatriz en un triángulo equilátero, estas dividen al triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos congruentes (véase Figura: 02).

En cualquiera de estos triángulos se puede aplicar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas de 30° y 60° (véase la Figura: 03).

Note además que BH hace de eje de simetría, igual pasará con las líneas notables que se tracen desde el vértice B y C, con ello demostramos que el triángulo equilátero tiene tres ejes de simetría.

• Propiedad N° 03:

En un triángulo equilátero los puntos notables: baricentro, incentro, circuncentro y ortocentro coinciden en un mismo «punto» y se cumple que la distancia de dicho punto a un vértice es el doble de su distancia a la base.
Véase la figura 04:

• Observación:

Es importante conocer lo que se cumple en la figura 05:

Si en esta figura se cumple que:

AB = BC ∧ m∠B = 60°

Entonces, al trazar AC, se forma el triángulo equilátero ABC. Esto se puede considerar como un principio de cómo dibujar un triángulo equilátero.

Perímetro de un Triángulo Equilátero

El perímetro del triángulo se define como la suma de las longitudes de los tres lados.

Entonces calcular el perímetro del triángulo equilátero será fácil, solo tenemos que conocer su lado y multiplicarlo por tres. Veamos la figura 6:

En la figura, la longitud del lado del triángulo es «a»:

⇒ Perímetro del Δ = a + a + a

∴ Perímetro del Triángulo Equilátero = 3a

Altura de un Triángulo Equilátero

La altura del triángulo equilátero se puede calcular rápidamente de dos formas:

• Por el teorema de Pitágoras; o
• Por razones trigonométricas.

Con cualquiera de los dos métodos se requiere conocer el lado del triángulo equilátero.

Veamos cada método:

Método 1: Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras nos permite calcular la altura del triángulo equilátero por fórmula. Véase la siguiente figura:

Aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo BHC:

h² = a² – (a/2)² = (3/4)a²

Simplificando tenemos:

Método 2: Razones Trigonométricas

Este método consiste en hallar la altura de un triángulo equilátero por trigonometría.

De la Figura: 07, aplicamos razón trigonométrica de 60° en el triángulo rectángulo BHC:

⇒ h = a.sen60°

Área de un Triángulo Equilátero

El área del triángulo equilátero se calcula partiendo de la fórmula básica para hallar área de la región de cualquier triángulo:

Área = [Base x Altura]/2

En la Figura: 08, sea «A» el área del triángulo equilátero ABC (área de la región triangular equilátera).

Entonces:

A = (Base x Altura)/2 = (a.h)/2 …(1)

La altura (h) en función de «a» lo hemos calculado arriba:

h = a√3/2 …(2)

Reemplazando en (2) en (1):

La fórmula para sacar el área del triángulo equilátero en función de su lado es:

Ejercicios Resueltos

Ejercicio 01:

Calcular la altura de un triángulo equilátero de lado 2√3.

Resolución:

Dato: Lado del triángulo:

a = 2√3u.

Nos pide: Altura  (h)

Aplicando la fórmula de la altura:

h = a√3/2

Reemplazando y resolviendo:

h = (2√3).√3/2

∴ h = 3u

Ejercicio 02:

En el triángulo equilátero ABC que se muestra la altura BH mide √3m. Calcular el perímetro y el área del triángulo equilátero. 

Resolución:

Del gráfico del problema, calculamos primero el valor de “a” (lado del triángulo).

Como tenemos la altura del triángulo equilátero, aplicamos fórmula:

h = a√3/2 ; donde: h = √3m

⇒ a = 2m

a. Cálculo del Perímetro: de acuerdo a la teoría el perímetro es igual: 3.a

⇒ Perímetro ΔABC = 3(2m)

∴ Perímetro ΔABC = 6m

b.  Cálculo del área: aplicando la fórmula del área del triángulo equilátero en función del lado:

A = a²√3/4

⇒ A = 2²√3/4

∴ Área ΔABC = √3m²

Ejercicio 03:

En un triángulo equilátero ABC, la distancia del circuncentro al vértice «B» es 6m. Se pide calcular el área de la región triangular ABC.

Resolución:

Se procede a realizar un bosquejo a partir del enunciado.

Para calcular el área del triángulo equilátero tenemos que conocer el valor de «a» para aplicar fórmula.
En la figura, sí «O» es circuncentro se cumple la propiedad 03.

BO = 2OH

⇒ 6 = 2.n

 ⇒ n = 3

Conociendo «n», tenemos el valor de la altura BH:

BH= h = 6+3 = 9m

La altura de un triángulo equilátero:

h = a√3/2

Reemplazando:

⇒ 9 = a√3/2

⇒ a = 6√3m

Cálculo del área: Conocemos la siguiente fórmula del triángulo equilátero:

Área = a²√3/4

Reemplazando el valor de «a=6√3m» en la fórmula se tiene:

∴ Área ΔABC = 27√3m²

Ejercicio 04:

En la figura calcular el valor de «x».

Resolución:

Este ejercicio requiere de un trazo auxiliar para solucionarlo rápidamente. Veamos la siguiente figura.

Para que siga el procedimiento, tenga en cuenta los pasos que se proponen:

• Paso 1:

Se traza AM de tal forma que divida al ángulo «A» en 2α y α. ¿Por qué?

Porque al hacer ese trazo se forma el triángulo isósceles AMC y además por propiedad de ángulo externo (ΔAMC) el ángulo AMB es 2α.

⇒ ΔABM es triángulo isósceles.

• Paso 2:

Cómo ΔABM es isósceles:

⇒ AB = BM = a

También conocemos que: BC = 2a

⇒ MC = a

• Paso 3:

Sí MC es «a» y siendo el ΔAMC isósceles:

⇒ AM = a

Ver Figura:

• Paso 4:

Observando el ΔABM se nota que los tres lados son iguales, entonces estamos ante un TRIÁNGULO EQUILÁTERO.

∴ x = 60°

Cuestiones Resueltas

Después de haber visto la teoría del triángulo equilátero puede que te queden algunas dudas; así que responderemos brevemente a las siguientes cuestiones más frecuentes que nos hacen llegar. ¡Vamos!:

PREGUNTAS:

1. ¿Cuál es la característica principal de un triángulo equilátero?
2. ¿El triángulo equilátero puede ser un triángulo escaleno?
3. ¿El triángulo equilátero puede ser un triángulo acutángulo?
4. ¿Cuáles son los ángulos del triángulo equilátero y cuánto miden?
5. ¿Cómo sacar el perímetro de un triángulo equilátero?
6. ¿Cómo sacar la altura de un triángulo equilátero?
7. ¿Cómo sacar el área de un triángulo equilátero?
8. ¿Cuál es la longitud de un triángulo equilátero?
9. ¿Hay triángulos equiláteros con un ángulo recto?
10. ¿Hay triángulos isósceles y equiláteros al mismo tiempo?
11. ¿En qué figuras geométricas se encuentra el triángulo equilátero?

RESPUESTAS:

1. La característica principal del triángulo equilátero es tener los 3 lados de igual medida.
2. No puede ser, debido a la definición del triángulo escaleno, el cual indica que los tres lados son desiguales.
3. SÍ puede ser, debido a que los ángulos del triángulo equilátero son agudos e igual 60° (ángulo agudo).
4. Los ángulos del triángulo equilátero pueden ser dos: Interno y Externo. Miden: 60° (ángulo interno) y 120° (ángulo externo).
5. Para sacar o hallar el perímetro del triángulo equilátero solo se necesita conocer el lado y multiplicarlo por 3 (tres). Ejemplo: El lado del triángulo equilátero mide 4cm ⇒ el Perímetro es (4)x3 = 12cm
6. La altura (H) se saca o halla por las fórmulas que se dedujeron. En resumen, si el lado del triángulo equilátero mide «a», entonces su altura mide: H = a√3/2.
7. Si conocemos el lado del triángulo equilátero que mide «a» entonces su área (A) será: A = a²√3/4.
8. Cuando se refiere a la longitud del triángulo se refiere al perímetro del triángulo equilátero, aunque debe especificarse, y lo hemos respondido en la cuestión 5.
9. NO existe ningún triángulo equilátero con ángulo recto a no ser que haya un trazo de altura en su interior.
10. NO. Porque estos tipos de triángulos tienen características diferentes en lados y ángulos.
11. EL triángulo equilátero puede encontrarse en las caras de un: tetraedro, octaedro, icosaedro, pirámide …