¿Qué es la Factorización?
Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que, al multiplicarlos, se obtenga el polinomio original. La Factorización de Polinomios, significa, transformar una suma algebraica en un producto de factores.
Observe el siguiente ejemplo para que quede entendido la definición de factorización:
La factorización es el proceso contrario a la multiplicación, el cual no está sujeta a reglas específicas, su operación depende de la práctica adquirida.
En esencia, la Factorización es la transformación de un polinomio en un producto indicado de factores primos. En el ejemplo de la figura: (x + 4) y (x – 1) son los factores primos de la factorización.
«La factorización de polinomios tiene relación con la factorización de números enteros, ya que ambas consisten en lo mismo, que es descomponer los datos como una multiplicación»
Objetivo de la Factorización
El objetivo de toda Factorización es expresar el polinomio en un producto de factores primos, veamos el siguiente esquema:
Podemos notar que si multiplicamos los factores: (a -b)(a – b) obtenemos: a² – b² que viene hacer el polinomio original.
La multiplicación y factorización son procesos inversos.
Ejemplo:
El Polinomio:
P(y) = y4 – 13y² + 36
Se factoriza de la siguiente forma:
P(y) = (y² – 4)(y² – 9)
Nos preguntamos: ¿(y² – 4)(y² – 9) son los factores primos?
Pues no lo son, ya que estos factores aún se pueden descomponer en;
- y² – 4 = (y – 2)(y + 2)
- y² – 9 = (y – 3)(y + 3)
Note en los dos casos, que ha visto una factorización de diferencias de cuadrados.
Entonces:
⇒ P(y) = (y – 2)(y + 2)(y – 3)(y + 3)
Por lo tanto, se ha factorizado P(y) como una multiplicación de factores primos.
¡Importante!:
✔ Si un Polinomio está escrito como una multiplicación de factores primos, se dice que el Polinomio está Factorizado.
✔ En la factorización de un polinomio cuando descompongamos todos los factores y ya no sean posibles descomponerlos más, habremos expresado dicho polinomio como una multiplicación de factores primos.
Ejemplos de Factorización
Existen diferentes métodos de factorización de un polinomio, veamos alguno de ellos en los siguientes ejemplos que se presentan:
Ejemplo 01:
Sea el Polinomio: P(x) = x² – 4
Este ejemplos se puede factorizar por diferencia de cuadrados, vea la propiedad:
a² – b² = (a+b)(a-b)
En P(x):
P(x) = (x+2)(x-2)
El Polinomio P(x) se ha expresado en un Producto de Factores Primos, los cuales son: (x+2) y (x-2)
Ejemplo 02:
El Polinomio: P(x) = x² + 2x +1
Se puede expresar como:
P(x) = (x+1)²
Esto sería su factorización del polinomio, pues se cumple el trinomio cuadrado perfecto.
Es decir: (x+1)(x+1) = x² + 2x +1
Ejemplo 03:
Sea el Polinomio: P(x) = x² + 3x + 2
En este polinomio podemos emplear aspa simple, el cual nos daría:
P(x) = (x+2)(x+1)
Observe como se ha factorizado el Polinomio P(x) en dos factores primos: (x+2); (x+1).
Ejercicios de Factorización
Ejercicio 01:
Factorizar el polinomio:
2x³ + 2x² + 8x
Resolución:
Note que en cada término de este polinomio existe 2 factores comunes. ¿Cuáles son?
- El número 2, porque todos los términos son divisibles entre 2; y
- La variable x , porque todos los términos tienen la variable x.
→ Te Recomendamos: «El Factor Común«
Entonces el siguiente polinomio queda reducido a:
2.x.(x² + x + 4)
⇒ 2x³ + 2x² + 8x = 2x(x² + x + 4)
Teniendo en cuenta este ejercicio, decimos que NO TODOS LOS POLINOMIOS se pueden expresar en factores primos, tal es el caso de: x² + x + 4
Ejercicio 02:
Factorizar el polinomio:
x² – y² – 3x – 3y
Resolución:
En este problema, cualquier estudiante novato pudo aplicar el método de factorización por agrupación de términos, así:
x² – 3x – y² – 3y
Luego, llegar hasta aquí:
x(x – 3) – y(y + 3)
Pero, ¿está factorizado? ….la respuesta en NO.
Recuerde que la factorización es llegar a un producto de factores, no a la diferencia.
¿Cómo se resuelve entonces?
Aplicando el método correcto:
- Agrupamos términos, así:
(x² – y²) + (-3x – 3y)
- Resolvemos la diferencia de cuadrado:
(x + y)(x – y) + (-3x – 3y)
- Dándole forma al segundo término:
(x + y)(x – y) -3(x + y)
- Note que el primer y segundo término tiene al factor común: (x + y), entonces Factorizando por factor común:
(x + y)[(x – y) -3]
- Que es lo mismo decir:
(x + y)(x – y -3)
∴ x² – y² – 3x – 3y = (x + y)(x – y -3)
Note que este ejercicio se ha solucionado de forma didáctica, tratando de tomar métodos que al final nos lleven a la resolución correcta.
Espero que hayas disfrutado. ¡Hasta la próxima!
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