Hexaedro Regular
¿Qué es?
El Hexaedro Regular es también llamado Cubo y se define como aquel Poliedro Regular limitado por seis caras cuadradas y congruentes.
Observe el hexaedro:
El Hexaedro contiene:
- N° Caras: 6
- N° Aristas: 12
- N° Vértices: 8
¡Importante!
En el Hexaedro las caras opuestas están contenidas en planos paralelos; así como, las caras contiguas están en planos perpendiculares.
Elementos de un Hexaedro
El Cubo es quizá la figura geométrica sólida más conocida, motivo por el cual merece nuestra atención y señalamos todos sus elementos que la componen en la siguiente figura:
Cara:
Una característica del cubo es que tiene las 6 caras congruentes, cuyas regiones planas son cuadrados. Una cara que se señala en la figura es el cuadrado DCGH (de verde)
Vértice:
El vértice es aquel punto donde concurren las aristas. El número de vértices del cubo es: 8 (A, B, C, …H).
Arista:
Son las líneas de intersección de las caras. El número de aristas del hexaedro es 12 (AB, BC, CD, AD, BF, … EH), todas ellas de igual longitud.
Diagonal:
La diagonal del cubo son las líneas que se trazan desde los vértices opuestos. El Hexaedro tiene 4 diagonales y son: BH, FD, AG y EC.
Centro:
El centro del cubo, también llamado: «centroide» o «centro de gravedad» es aquel punto donde concurren las diagonales del poliedro regular.
Ángulo Triedro:
El hexaedro contiene ángulos triedros en cada vértice, estos ángulos triedros son tri-rectángulos; es decir, contiene tres ángulos rectos. Observe el ángulo triedro en el vértice «E».
Nota:
Los elementos del cubo lo vemos todos los días, por ejemplo en un habitación, observe la figura:
Área y Volumen de un Cubo
Calcular el área y volumen de un hexaedro es sencillo, siempre y cuando se conozca la longitud del arista.
Observe la figura del cubo siguiente:
Área de un Cubo (S):
El área de un cubo es la suma de áreas de las regiones cuadradas de las caras del hexaedro. Entonces «S» será seis veces el área de un cuadrado de lado «a», cuya fórmula es:
S = 6a²
Volumen de un Cubo (V):
El volumen de un hexaedro está dado por la siguiente fórmula:
V = a³
Propiedades de un Hexaedro
El cubo tiene varias propiedades, detallaremos las siguientes:
Propiedad 1:
El centro de un cubo se determinará con la intersección de las diagonales del mismo. Para ubicar este punto, sólo es necesario trazar dos diagonales del cubo. Vea la figura:
Donde las diagonales trazadas son: AG y BH. Estas son cortadas en sus puntos medios.
Entonces, cuando se tracen las diagonales EC y FD, necesariamente deben pasar por el punto «O: centro del cubo».
Al centro del cubo también se le conoce como «centroide» o «punto de gravedad» de la figura sólida.
Si la longitud de la arista es «a» se cumple:
AG = BH = FD = EC = a√3
Propiedad 2:
En un Hexaedro Regular, cuatro vértices no consecutivos forman un tetraedro regular.
Observe la figura:
A, C , H y F son vértices no consecutivos del Hexaedro dado. Si la arista del cubo mide: «a», entonces la longitud de la arista del tetraedro dado medirá: a√2, debido a que el lado del tetraedro es la diagonal de una cara del cubo.
Propiedad 3:
En el Hexaedro Regular se forma un Poliedro Conjugado inscrito, el cual es un Octaedro Regular, tal como se muestra en la figura:
Este Octaedro se forma al unir los vértices M-A-B-C-D-N que son los centros de las caras del Cubo. Además, entre las aristas de estos poliedros regulares existe la siguiente relación:
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 01:
En un cubo, la distancia entre los centros de dos caras adyacentes es 2√2u. Sacar el volumen del cubo.
Resolución:
Sean las caras adyacentes: ABFE y BCGF, de centros «M» y «N». Entonces por dato:
MN = 2√2u
La arista del cubo es «a», entonces el volumen (V) es:
V = a³ …..(1)
Observe el bosquejo del problema:
Note que al trazar el triángulo EBG, MN es base media.
⇒ EG = 2(2√2) = 4√2u
También EG es diagonal del cuadrado EFGH.
⇒ EG = a√2 = 4√2
⇒ a = 4
Reemplazando en (1):
V = (4)³ = 64u³
Ejercicio 02:
Calcular el área de un Hexaedro Regular, si la distancia de uno de sus vértices hacia la cara opuesta mide 1cm.
Resolución:
Sea «a» la arista del cubo, nos piden el área de la superficie (S). Por fórmula sabemos:
S = 6a² …..(1)
Consideramos que desde el vértice «A» hacia el centro de la cara EFGH mide 1cm. Observe el gráfico:
Sea «O» el centro del cuadrado EFGH. Entonces:
EO = a√2/2 cm (EO es la mitad de la diagonal del cuadrado EFGH).
Además, se ha formado el triángulo rectángulo AEO, aquí aplicamos el teorema de pitágoras para conocer el valor de «a».
1² = a² + (a√2/2)²
Resolviendo, tenemos que:
a² = 2/3 …..(2)
Reemplazando (2) en (1):
⇒ S = 6(2/3) = 4cm²
∴ S = 4cm²