Números Reales: Clasificación, Propiedades y Operación con Números Reales

Números Reales (ℝ)

Al conjunto de los números Reales se le conoce con la letra ℝ. Está formado por la unión del conjunto de los números Racionales ℚ  y el conjunto de los números Irracionales I .

Veamos lo dicho en el siguiente diagrama donde se aprecia como está dividido el conjunto de los números.

En el gráfico notamos que los Números Reales se clasifican en:

1. Números Racionales
2. Números Irracionales.

Además, dentro de los Números Racionales se encuentran los números enteros y los números naturales. Conjuntos de números que todo estudiante debe conocer.

A continuación, veremos cada uno de ellos.

1. Números Racionales (ℚ)

Son el conjunto de números que comunmente conocemos como números fraccionarios como por ejemplo 3/5, o de expresiones decimales que se pueden reescribir como fracción, estas expresiones decimales pueden ser exactas o inexactas, periódicas o no periódicas.

Ejemplo:      

Q={…-3/4,-3/5,-3/6, 0, 3/6, 3/5, 3/4}

Es por esto que dentro de los números Racionales se encuentran los números Naturales, debido a que un Número Natural puede escribirse como un Racional o una fracción, así:

«3 es un número natural pero puedo escribirlo como Racional de esta manera: 3/1».

El conjunto de los Números Naturales se representa así.

N: {1,2,3,4,5,6,7…}

De igual modo sucede con los números Enteros, están dentro del conjunto de los números Racionales y los naturales dentro del conjunto de los números Enteros. El conjunto de los números Enteros están formados por los naturales y sus simétricos, por ejemplo: 2,-2;1,-1. El conjunto sería Z: {…-3,-2,-1,0,1,2,3…}.

2. Números Irracionales (I)

Son números decimales que no pueden escribirse como fracción y tiene infinitas cifras decimales que no siguen un Patrón, como el caso del número π=3,14159…

En resumen, a este conjunto pertenecen todo número que puedan expresarse en forma de decimales infinitos y no periódicos, como la raíz de dos √2=1,4142…

I. Regla de Signos

a. Suma de dos números enteros:

Se produce cuando dos números tiene el mismo signo, en ese caso se mantiene el signo, por ejemplo:

-3- 6= -9

b. Resta de Números enteros:

se da cuando dos números tienen signos diferentes, se resta y se mantiene el signo del número mayor, por ejemplo:

• 3-1=2

• 12-40= -28

c. Multiplicación:

• +×+= +; por ejemplo: 3 × 4= 12
• – × – = +; ejemplo:  -7×-6= 42
• + × – = -; ejemplo: 12×-5= -60
• – × + = -; ejemplo: -13× 11= – 143

d. División

• +÷+= +; por ejemplo: 12÷3=4
• – ÷ – = +; ejemplo:  -15÷-3= 5
• + ÷ – = -; ejemplo: 121÷-11= -11
• – ÷ + = -; ejemplo: –144 ÷12= -12

Antes de entrar en el desarrollo de las propiedades de números Reales, te mostraré sus Axiomas.

II. Axiomas

Recuerda que un Axioma es  un conjunto de proposiciones iniciales que se toman como reales, sentando las bases para construir a partir de allí podemos construir teoremas o enunciados. Así tenemos:

1. Axiomas de cuerpo:

Asumimos la existencia de dos operaciones llamadas suma y producto, tales que cada dos números Reales X, Y, le corresponde la suma X+Y y el producto X.Y, son números Reales determinados X e Y y satisfacen los axiomas de:

1.1 Axiomas de la Suma

• S1. Propiedad asociativa
• S2. Propiedad conmutativa
• S3.  Elemento Neutro
• S4. Elemento Simétrico

1.2 Axioma del producto

• P1. Propiedad asociativa
• P2. Propiedad conmutativa
• P3.  Elemento Neutro
• P4. Elemento Simétrico: para cada x que pertenece a los reales, destino de cero, existe un y que pertenece a los reales, tal que xy=1

Por ejemplo: halla el simétrico multiplicativo de el número 2

Sabemos que xy=1, debo conseguir un número que multiplicado por 2 me de uno, si decimos que x=2 sustituimos y obtenemos y

2y=1

Despejando

Y=1/2

Entonces sustituyo los valores de x,y y resuelvo la operación para saber si se cumple.

XY=1

2(1/2)=1

∴ 1=1 se cumple.

1.3 Axioma distributiva o propiedad distributiva.

2. Axioma de orden

Asumimos la existencia de una relación ≤ que establece un orden entre los números Reales.

3. Axioma de completitud.

III. Propiedades de los números Reales

1. Adición de Números Reales

1.1 Propiedad conmutativa:

A+B=B+A

Dados dos números Reales cuales quiera, al sumarlos sin importar su orden el resultado será el mismo.

Ejemplos:

i) Dados dos números Reales, √2 y 1/4 aplica la propiedad conmutativa.

• A=√2
• B=1/4

La propiedad conmutativa dice que:

A+B=B+A

Dado que la raíz de dos es irracional, sólo tomaremos los dos primeros decimales de dicha raíz y dividiremos el número fraccionario 1/4 para que trabajemos con valores decimales.

√2=1,41…

1/4=0.25

Entonces:

√2+(1/4)=(1/4)+√2

Sustituimos los números por su equivalente decimal. Así:

1,41+0,25=0,25+1,41

Y sumamos siempre tomando en cuenta los signos.

∴ 1,66=1,66 como vemos se cumple la conmutatividad.

ii) Aplica la propiedad conmutativa a los números , -1/3 y Π

• A=-1/3=-0.33…
• B=Π=3,14..

A+B=B+A

Sustituyo los números según el orden de las letras.

-0,33+3,14=3,14+(-0,33)

Multiplico los signos y aplico la regla de los signos, signos diferentes se restan y se mantiene el signo del número mayor.

2,81=3,14-0,33

∴ 2,81=2,81 se cumple la conmutatividad

1.2 Propiedad asociativa

A, B, C, son números Entero. Donde:

(A+B)+C=A+(B+C)

Ejemplos.

i) Dados tres números, √3,-3/4, 1/2 aplicar la propiedad asociativa.

• A=√3
• B=-3/4
• C=1/2

(A+B)+C=A+(B+C)

(√3+(-3/4))+1/2=√3+(-3/4+1/2),  resolvemos primero las sumas algebraicas que están dentro de los paréntesis. Utilizo los equivalentes de cada número en números decimales. Así:

(1,73-0,75)+0,5=1,73+(-0,75+0,5)

0,98+0,5=1,73-0,25

1,48=1,48 se cumple la propiedad asociativa

2) Dados los números √2;√3;1/2aplica la propiedad asociativa.

(A+B)+C=A+(B+C),

(√2+√3)+1/2=√2+(√3+1/2).

Sustituyo por sus equivalentes decimales.

(1,41+1,73)+0,5=1,41+(1,73+0,5)

3,14+0,5=1,41+2,23

∴ 3,64=3,64 se cumple la asociatividad

1.3 Elemento Neutro

El elemento neutro es aquel número que al sumarlo con otro número Real da como resultado el mismo número. En la adición el número que cumple con estas características es el número cero.

A+0 = 0+A = A

Ejemplos:

i) Aplica el elemento neutro de √2

• A=√2= 1,41

El elemento neutro me dice que:

A+0=0+A=A;

sustituyendo me queda:

√2+0=0+√2=√2

Se cumple, si sumamos cero a un número el resultado será el mismo número.

ii) Dado el número 2/3 aplique el elemento neutro.

A+0=0+A=A

2/3+0=0+2/3

∴ 2/3=2/3  Se cumple el elemento neutro.

2. Multiplicación de Números Reales

2.1 Propiedad conmutativa

Dados dos números cualesquiera, A,B, Reales se cumple que:

A × B = B × A

El orden en el que se multiplican los números no altera el resultado.

Ejemplo:

i) Dados dos números √2,√3; comprueba su conmutatividad..

A×B=B×A;

√2×√3=√3×√2

Multiplicamos a ambos lados, los números y los signos y verificamos si se cumple la conmutatividad:

∴ √6=√6; vemos que se cumple.

ii) Comprueba si se cumple la propiedad conmutativa en -11, -1.

A=-11; B=-1; la propiedad conmutativa dice: A×B=B×A, sustituyendo me queda:

-11×-1=-1×-11 multiplico números y signos.

∴ 11=11  se cumple la conmutatividad.

2.2 Propiedad asociativa de la multiplicación.

Dados tres números Reales cualesquiera, A,B,C. Se cumple que:

(A×B)×C=A×(B×C)

Ejemplos:

i) Dados los números 1/2×1/3×√3. Comprueba la propiedad asociativa de la multiplicación.

(A×B)×C=A×(B×C)

Donde:

(1/2×1/3)×√3=1/2×(1/3×√3). Sustituyo los valores.

1/6×√3=1/2×√3/3 Multiplico primero los números que están dentro de los paréntesis y sus signos.

√3/6=1/2×√3/3

∴ √3/6=√3/6  

Los resultados obtenidos son los mismos, se cumple la propiedad.

ii) Dados tres números -√2;-√5, 3/2 aplica la propiedad asociativa.

(-√2×-√5)×3/2=-√2×(-√5×3/2)

√10×3/2=-√2×-3√5/2

∴ 3√10/2=3√10/ se cumple la propiedad.

2.3 Elemento neutro

El elemento neutro de la multiplicación es el número uno, así que la propiedad es:

A×1=1×A=A

Ejemplos:

i) Dados el número -1/3 aplica el elemento neutro.

A=-1/3; donde:

A×1=1×A=A

-1/3×1=1×-1/3=-1/3

Queda comprobado que el uno es el elemento neutro de -1/3.

2.4 Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición

Como lo dice ésta propiedad multiplicamos y sumamos. Veamos como:

A×(B+C)=A×B+A×C

Ejemplos:

i) Aplica la propiedad distributiva a: A=-√2, B=-1/3, C=√5

Lo primero que debo hacer es escribir la propiedad:

A×(B+C)=A×B+A×C.

Sustituyo:

-√2×((-1/3)+√5)=-√2×-1/3+(-√2)×√5

Resuelvo las operaciones que están en paréntesis

-√2×((-1+3√5)/3)=√2/3-√10

∴ (√2-3√10)/3=(√2-3√10)/3;  Se cumple la propiedad.

ii) Aplica la propiedad distributiva a √5,1/2,1/5

√5×(1/2+1/5)=√5×1/2+√5×1/5

√5(7/10)=√5/2+√5/5

7√5/10=(5√5+2√5)/10

∴ 7√5/10=7√5/10;  Se cumple la propiedad distributiva.

Ejemplos de Operaciones con números Reales

Ejemplo 01:

Dado el número Real 1,321445.. Indique cual de los siguientes números son aproximaciones con números decimales:

A) 1;  B)1,32;  c)1,231445

La Respuesta correcta es B.

Ejemplo 02:

Escribe las aproximaciones de estas dos raíces con 2 decimales: √3 y 1/5

Respuesta:

• √3= 1,73205…
• √3=1,73
• 1/5= 0,20

Ejemplo 03:

Realiza el siguiente cálculo

(√3+√5)(√3-√5)

Resolución:

Se resuelve aplicando producto notable.

(a + b)(a – b) = a² – b²

Aplicando esta propiedad en el ejemplo:

(√3)² – (√5)²

Se escriben ambas raíces elevadas al cuadrado y con un signo menos que las separa. Así:

⇒ 3 – 5

∴ -2 (respuesta)