¿Qué es un polinomio?
Polinomio es un término, cuya raíz Poli procede del Griego polys que significa muchos y nomios procede de nómos que significa regla, distribución, entonces:
Un polinomio es una suma de productos en combinación con variables y constantes; es decir, términos algebraicos separados por el signo más o menos.
Es una expresión algebraica que tiene la siguiente forma general:
anxn + an-1xn-1 + …+ a2x2 + a1x1 + a0
Elementos de un polinomio
a. Término independiente:
Es el término a0 , es aquel que no se encuentra acompañado de la variable «x», también es un coeficiente.
b. Coeficientes:
Son los números base que acompañan a las partes literales en forma de multiplicación o división.
Ejemplos
Identifica los coeficientes de los siguientes polinomios
1) 8x² + 3x + 2
2) 4x⁴ – 7x³ + 6x² + x -5
c) x³ – 8x² -9x +1
Solución:
1) 8x² + 3x + 2
Los coeficientes son los números que acompañan a la variable x, entonces son: 8, 3, 2. 2 es un término independiente pero a la vez es un coeficiente, pues aunque no vemos la variable x a su lado sabemos que x elevado a la cero es uno.
2) 4x⁴ – 7x³ + 6x² + x -5
Los coeficientes de este polinomio son 4, -7, 6, 1, -5, sabemos que -5 Es un término independiente y 1 es el coeficiente que acompaña a x aunque no esté escrito, siempre que veamos una x sola, significa que su coeficiente es 1.
3) x³ – 8x² -9x +1
Los coeficientes son 1, -8, -9, 1
c. Variable:
Generalmente representada por la letra X
d. Grado de los términos:
Debemos mirar a cada término y ver su literal o variable, observar a su exponente, este sera el grado de ese término.
Ejemplos de Polinomios
En los siguientes ejemplos identifica el grado de los términos de cada polinomio.
1) 8x² + 3x + 2
Debemos identificar cuantos términos posee el polinomio. En este caso son tres términos los cuales se separan de un signo más.
Aquí tenemos los siguientes términos:
- 8x² el grado de este término es de segundo grado pues el exponente del literal es dos
- + 3x el grado de este término es uno, pues en x no se observa exponente, cuando esto sucede decimos que el grado es uno.
- + 2 el grado de este término es cero porque no tiene variable x.
2) 4x⁴ – 7x³ + 6x² + x -5
Escribo a continuación los términos para indicar el grado de cada uno de ellos.
- 4x⁴ el grado de este término es 4 porque el exponente de x es cuatro.
- – 7x³ el grado de este término es 3 porque el exponente de x es tres.
- + 6x² el grado de este término es 2 porque el exponente de x es dos.
- + x el grado de este término es 1 como x no tiene exponente aparente, indica que está sobreentendido que su exponente es uno.
- -5 el grado de este término es cero, pues no tiene variable x
3) x³ – 8x² -9x +1
Vea los términos por separado
- x³ el exponente es 3 este término es de grado tres.
- – 8x² el término es de grado dos
- -9x el término es de grado uno
- +1 el término es de grado cero.
e. Grado del Polinomio:
Se consigue dentro del polinomio cuando miramos a sus exponentes, el mayor de todos los exponentes de las variables ese es el grado del polinomio.
Ejemplos:
a) 8x² + 3x + 2
b) 4x⁴ – 7x³ + 6x² + x -5
c) x³ – 8x² -9x +1
Solución:
a) 8x² + 3x + 2.
El grado de este polinomio es dos, entonces se dice que es un polinomio de segundo grado, pues su exponente mayor es dos.
b) 4x⁴ – 7x³ + 6x² + x -5
El grado de este polinomio es de cuarto grado
c) x³ – 8x² -9x +1
El grado del polinomio es de tres, entonces es un polinomio de tercer grado.
Tipos de polinomios
Polinomio nulo
Todo polinomio de valor cero, cuyos coeficientes sean cero es nulo.
Ejemplo:
Z(x) = 0x² + 0x + 0
P(x) = 0
Polinomio completo
Es el polinomio que tiene todos los términos, desde el de mayor grado hasta el término independiente.
Por ejemplo:
R(x) = 7x² – 3x +1
Tenemos exponente dos, uno y cero. Es un polinomio completo.
Z(x) = 2x⁴ – 7x³ + 8x² +x + 1
Polinomio incompleto
Es un polinomio al que le faltan términos como por ejemplo:
P(x) = 3x⁴ – 7 este polinomio está incompleto, veamos ¿por qué?
Vamos a completar.
P(x) = 3x⁴ +0x³ + 0x² + 0x – 7
Aquí podemos apreciar en rojo los términos que faltan. Ahora el polinomio está completo.
Completa el siguiente polinomio:
T(x) = 4x⁴ -2x² +1 faltan los términos con exponente 3 y 1, vamos a completar el polinomio con términos nulos y exponente 3 y uno
T(x) = 4x⁴ +0x³ -2x² + 0x +1 ahora podemos decir que este polinomio está completo.
¿Cómo se ordenan los Polinomios?
Hay dos formas de ordenar un polinomio, de forma creciente y de forma decreciente.
1. Polinomios ordenados de forma creciente:
Es un polinomio que se ordena a partir del término independiente hasta el término de mayor grado.
P(x) = -7 + 2x – 5x² +9x³
El exponente cero se encuentra en el término independiente -7, luego el exponente uno lo tiene 2x, el exponente dos está en el término – 5x², el exponente tres se encuentra con el término +9x³.
2. Polinomios ordenados de forma decreciente:
Es un polinomio que se ordena a partir del término de grado mayor al término independiente, por ejemplo:
T(x) = 6x⁴ + 2x³ + x² + 4x + 1.
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