Trinomio Cuadrado Perfecto
Dentro de los productos notables existe la identidad del binomio al cuadrado: (a+b)², cuyo desarrollo es a² + 2ab + b², a éste resultado se le conoce como trinomio cuadrado perfecto, observe:
Entonces, el trinomio cuadrado perfecto resulta de multiplicar (a+b)(a+b), el cual no es la única forma de obtenerlo.
Existe la forma geométrica, observe la siguiente figura:
En la figura, se parte de un cuadrado de lado (a+b) para llegar al trinomio cuadrado perfecto, que no es más que las proporciones de áreas del cuadrado inicial.
Veamos algunos ejemplos por el modo algebraico.
Ejemplos
Veamos 5 ejemplos del trinomio cuadrado perfecto:
1. (x + 1)² = x² + 2(x)(1) + 1²
= x² + 2x + 1
2. (2x + 1)² = (2x)² + 2(2x)(1) + 1²
= 4x² + 4x + 1
3. (x + 3)² = x² + 2(x)(3) + 3²
= x² + 6x + 9
4. (2x + 5y)² = (2x)² + 2(2x)(5y) + (5y)²
= 4x² + 20xy + 25y²
5. (a + b)² = a² + 2(a)(b) + b²
= a² + 2ab + b²
Teorema:
«Todo trinomio de la forma: ax² + bx + c es un cuadrado perfecto si y sólo si: b² = 4ac»
Ejercicio
¿4m² + 8m + 4 Es un trinomio cuadrado perfecto?
Veamos por el teorema aprendido:
a = 4; b = 8 ; c = 4
Entonces:
b² = 4ac
8² = 4(4)(4) = 64 (Verdadero)
∴ 4m² + 8m + 4 sí es un binomio cuadrado perfecto
También, su binomio al cuadrado sería:
( 2a + 2)
¡Importante!
El trinomio cuadrado perfecto es bien usado en dos temas básicos del álgebra: Productos Notables y Factorización, en este último se usa para reducir expresiones algebraicas, así:
x² + 2xy + y² = (x + y)²
