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Trinomio Cuadrado Perfecto: Definición y Ejemplos

Conozca qué es el trinomio cuadrado perfecto y cómo aplicarlo.

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Trinomio Cuadrado Perfecto

Dentro de los productos notables existe la identidad del binomio al cuadrado: (a+b)², cuyo desarrollo es a² + 2ab + b², a éste resultado se le conoce como trinomio cuadrado perfecto, observe:

Trinomio cuadrado perfecto
El Trinomio Cuadrado Perfecto.

Entonces, el trinomio cuadrado perfecto resulta de multiplicar (a+b)(a+b), el cual no es la única forma de obtenerlo.

Existe la forma geométrica, observe la siguiente figura:

Trinomio cuadrado
El trinomio cuadrado perfecto en su forma geométrica.

En la figura, se parte de un cuadrado de lado (a+b) para llegar al trinomio cuadrado perfecto, que no es más que las proporciones de áreas del cuadrado inicial.

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Veamos algunos ejemplos por el modo algebraico.

Ejemplos

Veamos 5 ejemplos del trinomio cuadrado perfecto:

1. (x + 1)² = x² + 2(x)(1) + 1²

= x² + 2x + 1

2. (2x + 1)² = (2x)² + 2(2x)(1) + 1²

= 4x² + 4x + 1

3. (x + 3)² = x² + 2(x)(3) + 3²

= x² + 6x + 9

4. (2x + 5y)² = (2x)² + 2(2x)(5y) + (5y)²

= 4x² + 20xy + 25y²

5. (a + b)² = a² + 2(a)(b) + b²

= a² + 2ab + b²

 

Teorema:

«Todo trinomio de la forma:  ax² + bx + c es un cuadrado perfecto si y sólo si: b² = 4ac»

Ejercicio

¿4m² + 8m + 4 Es un trinomio cuadrado perfecto?

Veamos por el teorema aprendido:

a = 4; b = 8 ;  c = 4

Entonces:

b² = 4ac

8² = 4(4)(4) = 64 (Verdadero)

∴ 4m² + 8m + 4 sí es un binomio cuadrado perfecto

También, su binomio al cuadrado sería:

( 2a + 2)

¡Importante!

El trinomio cuadrado perfecto es bien usado en dos temas básicos del álgebra: Productos Notables y Factorización, en este último se usa para reducir expresiones algebraicas, así:

x² + 2xy + y² = (x + y)²

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